Le système \(M_a \cdot X=\begin{pmatrix}a-1 \\ a \\ a\end{pmatrix}\) admet une unique solution ssi \(det(M_a) \neq 0 \iff a \in \mathbb{R} \backslash\{-1,0,1\}\). Dans ce cas, par les formules de CRAMER : \[\Delta_a=\left|\begin{array}{ccc} 2 a+1 & -a & a+1 \\ a-2 & a-1 & a-2 \\ 2 a-1 & a-1 & 2 a-1 \end{array}\right|=a(a-1)(a+1)\]

\[\begin{aligned} & \Delta_x=\left|\begin{array}{ccc} a-1 & -a & a+1 \\ a & a-1 & a-2 \\ a & a-1 & 2 a-1 \end{array}\right|=\begin{array}{c} \ell_1 \\ \ell_2 \\ \ell_3-\ell_2 \end{array}\left|\begin{array}{ccc} a-1 & -a & a+1 \\ a & a-1 & a-2 \\ 0 & 0 & a+1 \end{array}\right|=(a+1)\left[(a-1)^2+a^2\right] \\ & =(a+1)\left(2 a^2-2 a+1\right) \\ & \Delta_y=\left|\begin{array}{ccc} 2 a+1 & a-1 & a+1 \\ a-2 & a & a-2 \\ 2 a-1 & a & 2 a-1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} c_1-c_2 & c_2 & c_3 \\ a & a-1 & a+1 \\ 0 & a & a-2 \\ 0 & a & 2 a-1 \end{array}\right|=a^2[(2 a-1)-(a-2)] \\ & =a^2(a+1) \\ & \Delta_z=\left|\begin{array}{ccc} 2 a+1 & -a & a-1 \\ a-2 & a-1 & a \\ 2 a-1 & a-1 & a \end{array}\right|=\begin{array}{c} \ell_1 \\ \ell_3-\ell_2 \end{array}\left|\begin{array}{ccc} 2 a+1 & -a & a-1 \\ a-2 & a-1 & a \\ a+1 & 0 & 0 \end{array}\right|=-(a+1)\left[(a-1)^2+a^2\right] \\ & =-(a+1)\left(2 a^2-2 a+1\right) \end{aligned}\] \[S_a=\left\{\left(\frac{2 a^2-2 a+1}{a(a-1)}, \frac{a}{(a-1)},-\frac{2 a^2-2 a+1}{a(a-1)}\right)\right\}\]

Système linéaire à paramètre