Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) antisymétrique.
1
On suppose \(a_{12} \ne 0\), et on décompose \(A\) sous la forme : \(A = \begin{pmatrix} J &U \cr {-{}^tU} &V\cr\end{pmatrix}\) avec \(J = \begin{pmatrix} 0 &a_{12} \cr -a_{12} &0 \cr\end{pmatrix}\).
Soit \(P = \begin{pmatrix} I_2 &-J^{-1}U \cr 0 &I_{n-2}\cr\end{pmatrix}\).
2
Montrer que \(P\) existe et est inversible.
3
Calculer \(AP\).
4
En déduire que \(\mathrm{rg}(A) = 2 + \mathrm{rg}({}^tUJ^{-1}U + V)\).