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On suppose $a_{12} \ne 0$, et on décompose $A$ sous la forme : $A = \begin{pmatrix} J &U \cr {-{}^tU} &V\cr\end{pmatrix}$ avec $J = \begin{pmatrix} 0 &a_{12} \cr -a_{12} &0 \cr\end{pmatrix}$.

Soit $P = \begin{pmatrix} I_2 &-J^{-1}U \cr 0 &I_{n-2}\cr\end{pmatrix}$.

Montrer que $P$ existe et est inversible.

Calculer $AP$.

En déduire que $\mathrm{rg}(A) = 2 + \mathrm{rg}({}^tUJ^{-1}U + V)$.