exo7 7676

On considère le plan d’équation $z=0$ avec le paramétrage $\left\{\begin{array}{ccc} F: \Rr^2&\to&\Rr^3\\ (x,y)&\mapsto& (x,y,0). \end{array}\right.$
Déterminer la matrice de la première forme fondamentale dans la base $\mathcal{B}_F$ correspondante.

On considère le plan d’équation $z=0$ avec le paramétrage local $$\begin{aligned} G: ]0,+\infty[\times ]-\pi,\pi[&\to&\Rr^3\\ (r,\theta)&\mapsto& (r\cos\theta,r\sin\theta,0). \end{aligned}$$ Déterminer la matrice de la première forme fondamentale dans la base $\mathcal{B}_G$ correspondante.

Déterminer la matrice de changement de base au point de coordonnées $(1,0,0)$ de la base $\mathcal{B}_F$ dans la base $\mathcal{B}_G$. Relier les deux matrices obtenues pour la première forme fondamentale.