On considère le plan d’équation \(z=0\) avec le paramétrage
\(\left\{\begin{array}{ccc}
F: \Rr^2&\to&\Rr^3\\ (x,y)&\mapsto& (x,y,0).
\end{array}\right.\)
Déterminer la matrice de la première forme fondamentale dans la base \(\mathcal{B}_F\) correspondante.
On considère le plan d’équation \(z=0\) avec le paramétrage local \[\begin{aligned} G: ]0,+\infty[\times ]-\pi,\pi[&\to&\Rr^3\\ (r,\theta)&\mapsto& (r\cos\theta,r\sin\theta,0).\end{aligned}\] Déterminer la matrice de la première forme fondamentale dans la base \(\mathcal{B}_G\) correspondante.
Déterminer la matrice de changement de base au point de coordonnées \((1,0,0)\) de la base \(\mathcal{B}_F\) dans la base \(\mathcal{B}_G\). Relier les deux matrices obtenues pour la première forme fondamentale.