Soit \(S\) une surface différentiable munie d’une métrique riemannienne \(g\). Soit \(p\) et \(q\) deux points fixés sur \(S\). Soit \(\epsilon\) un nombre réel strictement positif. Soit \(a\leq b\) deux nombres réels. Soit \(C :]-\epsilon,\epsilon [\times [a,b]\to S\) une application différentiable vérifiant pour tout \(s\in ]-\epsilon,\epsilon [\), \(C(s,a)=p\) et \(C(s,b)=q\). On notera \(c_s(t):=C(s,t)\), \(V(t):=\frac{\partial C}{\partial s}_{(0, t)}\). On admettra l’identité des dérivées covariantes \[\nabla_{V(t)}\dot{c_0}(t)=\nabla_{\dot{c_0}(t)}V(t).\]
Représenter sur un dessin \(S\), l’application \(C\) et le champs de vecteurs \(V\), en particulier \(V(a)\) et \(V(b)\).
Rappeler la définition de l’énergie \(E[c_s]\) de la courbe \(c_s : [a,b]\to S\).
Exprimer à l’aide de la dérivée covariante \(\nabla_{\dot{c_0}(t)}\dot{c_0}(t)\), la dérivée \(\frac{dE[c_s]}{ds}_{s=0}\).