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Montrer que cette série converge normalement sur tout compact $K$ de $\Cc$. En déduire que $\displaystyle f(z) = \sum_{n\in \Zz} \frac{1}{(z-n)^2}$ est une fonction méromorphe sur $\Cc$. Vérifier que l’on a $f(z+1) = f(z)$.

Déterminer le résidu de $f$ en chacun de ses pôles. Montrer que, si l’on note $z=x+iy$, $f(z)$ tend vers 0, uniformément par rapport à $x$, lorsque $|y|$ tend vers $\infty$.

Montrer que $\displaystyle f(z) = \left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)} \right)^2$. (On pourra utiliser le théorème de Liouville.) En déduire que l’on a $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.