[gijsexoav] On considère la série \(\displaystyle \sum_{n\in \Zz} \frac{1}{(z-n)^2}\).
1
Montrer que cette série converge normalement sur tout compact \(K\) de \(\Cc\). En déduire que \(\displaystyle f(z) = \sum_{n\in \Zz} \frac{1}{(z-n)^2}\) est une fonction méromorphe sur \(\Cc\). Vérifier que l’on a \(f(z+1) = f(z)\).
2
Déterminer le résidu de \(f\) en chacun de ses pôles. Montrer que, si l’on note \(z=x+iy\), \(f(z)\) tend vers 0, uniformément par rapport à \(x\), lorsque \(|y|\) tend vers \(\infty\).
3
Montrer que \(\displaystyle f(z) = \left(\frac{\pi}{\sin(\pi z)} \right)^2\). (On pourra utiliser le théorème de Liouville.) En déduire que l’on a \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).