Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\) et \(f \in \mathcal{L} (E)\) tel que \(\hbox{rg}(f-id)=1 .\) On note \(H = \hbox{Ker}(f-id) .\)
1
Soit \(\{ e_1, \cdots , e_{n-1}\}\) une base de \(H\) et \(e_n \notin H .\) Montrer que \(\{ e_1, \ldots , e_{n}\}\) est une base de \(E\) et donner l’allure de la matrice de \(f\) dans cette base.
2
Montrer que le polynôme \((X-1)(X-\hbox{det}(f))\) annule \(f .\) Donner une condition nécéssaire et suffisante pour que \(f\) soit diagonalisable.