L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PTPrépa BCPST 2 questions

exo7 1576

Soit EE un K\mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie nn et f∈L(E)f \in \mathcal{L} (E) tel que rg(f−id)=1.\hbox{rg}(f-id)=1 . On note H=Ker(f−id).H = \hbox{Ker}(f-id) .

1

Soit {e1,⋯ ,en−1}\{ e_1, \cdots , e_{n-1}\} une base de HH et en∉H.e_n \notin H . Montrer que {e1,…,en}\{ e_1, \ldots , e_{n}\} est une base de EE et donner l’allure de la matrice de ff dans cette base.

2

Montrer que le polynôme (X−1)(X−det(f))(X-1)(X-\hbox{det}(f)) annule f.f . Donner une condition nécéssaire et suffisante pour que ff soit diagonalisable.

Exercice BU6H

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