L2 Algèbre Réduction d'endomorphisme, polynôme annulateur Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 7 questions

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(9 points) Soit $u$ l’endomorphisme de $\R^3$ , dont la matrice dans la base canonique est $A=\begin{pmatrix}3&2&-2 \\ -1&0&1 \\ 1&1&0 \\ \end{pmatrix}$

Calculer les valeurs propres de $A$ . L’endomorphisme $u$ est-il diagonalisable ?

Calculer $(A-I)^2$ . Montrer que $A^n=nA+(1-n)I$ en utilisant la formule du binôme de Newton.

Soient $P(X)=(X-1)^2$ et $Q\in\R[X]$ . Exprimer le reste de la division euclidienne de $Q$ par $P$ en fonction de $Q(1)$ et $Q'(1)$ , où $Q'$ est le polynôme dérivé de $Q$ . En remarquant que $P(A)=0$ et en utilisant le résultat précédent avec un choix judicieux du polynôme $Q$ , retrouver $A^n$ .

Montrer que l’image de $\R^3$ par l’endomorphisme $u-\mathrm{Id}$ est un sous-espace vectoriel de dimension $1$ , on notera $\varepsilon_2$ une base.

Déterminer un vecteur $\varepsilon_3$ tel que $u(\varepsilon_3)=\varepsilon_2+\varepsilon_3$ . Déterminer un vecteur propre $\varepsilon_1$ de $u$ non colinéaire à $\varepsilon_2$ .

Montrer que $(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ est une base de $\R^3$ .Ecrire la matrice de $u$ dans cette base, ainsi que les matrices de passage.

Retrouver $A^n$ .