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Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie \(n\). Soit \(f\in\mathcal{L}(E)\) diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(g\in\mathcal{L}(E)\) tel que \(g^2=f\). Dans le cas d’existence de \(g\), donner le nombre exact de \(g\) tel que \(g^2=f\).
Application Soit : \[M= \left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right).\] Montrer qu’il existe \(N\in\mathcal{M}_3(\R)\) telle que \(N^2=M\). Déterminer une \(N\).