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Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n$. Soit $f\in\mathcal{L}(E)$ diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe $g\in\mathcal{L}(E)$ tel que $g^2=f$. Dans le cas d’existence de $g$, donner le nombre exact de $g$ tel que $g^2=f$.

Application Soit : $$M= \left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right).$$ Montrer qu’il existe $N\in\mathcal{M}_3(\R)$ telle que $N^2=M$. Déterminer une $N$.