Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel, \(F\) le sous-espace vectoriel des fonctions polynomiales et \(g\) la fonction exponentielle sur \([0,1]\).
1
Montrer que \(g\notin F\).
2
Montrer qu’il existe une suite \((f_n)\) de fonctions polynomiales convergeant vers \(g\) pour la norme euclidienne.
3
En déduire que \(F\) n’a pas de supplémentaire orthogonal.