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Soit $\varphi$ l’endomorphisme de matrice dans la base canonique de $\R^4$ : $M = \begin{pmatrix} 2 &0 &0 &3 \cr 0 &2 &3 &0 \cr 0 &3 &2 &0 \cr 3 &0 &0 &2 \cr\end{pmatrix}$.

Montrer qu’il existe des projections orthogonales $p$, $q$ et des réels $\lambda$, $\mu$ tels que : $$\varphi = \lambda p + \mu q,\qquad p\circ q = 0, \qquad p+q = \mathrm{id}_E.$$