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Soit \(\varphi\) l’endomorphisme de matrice dans la base canonique de \(\R^4\) : \(M = \begin{pmatrix} 2 &0 &0 &3 \cr 0 &2 &3 &0 \cr 0 &3 &2 &0 \cr 3 &0 &0 &2 \cr\end{pmatrix}\).
Montrer qu’il existe des projections orthogonales \(p\), \(q\) et des réels \(\lambda\), \(\mu\) tels que : \[\varphi = \lambda p + \mu q,\qquad p\circ q = 0, \qquad p+q = \mathrm{id}_E.\]