Soit \(I=[a,b]\) (\(a<b\)) un intervalle de \(\Rr\) et \(\phi : I\to \Cc\) une application continue. Montrer que \[\left|\int_a^b \phi\right|\leq \int_a^b |\phi|.\] On pourra considérer un nombre complexe \(c\) tel que \(\left|\int_a^b \phi\right|=c\int_a^b \phi\).
Vérifier que la relation définie sur les chemins paramétrés par \(\gamma_1\equiv \gamma_2\) s’il existe une bijection \(\alpha : J\to I\) dérivable à dérivée continue et partout strictement positive telle que \(\gamma_2=\gamma_1\circ\alpha\) est une relation d’équivalence.
Donner l’exemple de \(D\) un ouvert de \(\Cc\), \(f : D \to \Cc\) une application continue, \(I\) un intervalle de \(\Rr\) et \(\gamma_1 : I\to D\) une application continue, \(J\) un intervalle de \(\Rr\) et \(\alpha : J\to I\) une application continue bijective et \(\gamma_2=\gamma_1\circ\alpha\) tels que \[\int_I f( \gamma_1(t)) dt\not =\int_J f(\gamma_2(\tau)) d\tau.\]
Donner l’exemple d’une fonction \(f :D\to\Cc\) holomorphe et de deux chemins \(\Gamma_1\) et \(\Gamma_2\) de même origine et fin, tels que \[\int_{\Gamma_1}f(z)dz\not=\int_{\Gamma_2}f(z)dz.\]
Soit \(D\) un ouvert de \(\Cc\), \(f : D \to \Cc\) une application continue, \(\Gamma\) un chemin dans \(D\). A-t-on \[re\left(\int_\Gamma f(z)dz\right)=\int_\Gamma re(f(z)) dz ?\]