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(a) Montrer que les seuls sous-groupes de \(\Z\) sont de la forme \(n\Z\) où \(n\) est un entier.
(b) Un élément \(x\) d’un groupe est dit d’ordre fini s’il existe un entier \(k\) tel que \(x^k=e_G\). Montrer que \(\{ k\in \Z \hskip 2pt |\hskip 2pt x^k=e_G \}\) est alors un sous-groupe non nul de \(\Z\). On appelle ordre de \(x\) le générateur positif de ce sous-groupe.
(c) Soit \(x\) un élément d’un groupe \(G\). Montrer que \(x\) est d’ordre \(d\) si et seulement si le sous-groupe \(< x >\) de \(G\) engendré par \(x\) est d’ordre \(d\).