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(a) Montrer que les seuls sous-groupes de $\Z$ sont de la forme $n\Z$ où $n$ est un entier.

(b) Un élément $x$ d’un groupe est dit d’ordre fini s’il existe un entier $k$ tel que $x^k=e_G$. Montrer que $\{ k\in \Z \hskip 2pt |\hskip 2pt x^k=e_G \}$ est alors un sous-groupe non nul de $\Z$. On appelle ordre de $x$ le générateur positif de ce sous-groupe.

(c) Soit $x$ un élément d’un groupe $G$. Montrer que $x$ est d’ordre $d$ si et seulement si le sous-groupe $< x >$ de $G$ engendré par $x$ est d’ordre $d$.