On rappelle que \(\sin^3 t = \sin t\,(1 - \cos^2 t)\).
1
En considérant le changement de variable \(u = \cos t\), calculer l’intégrale \[I = \int_0^\pi \frac{\sin^3 t}{1+\cos^2 t}\;dt.\]
2
Soit \(\alpha > 2\). À l’aide d’une intégration par parties, calculer \[J(\alpha) = \int_2^\alpha \frac{\ln x}{x^2}\;dx.\]
3
En déduire la valeur de \(\displaystyle\int_2^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2}\;dx\).