Changement de variable, intégration par parties et intégrale impropre

En considérant le changement de variable $u = \cos t$, calculer l’intégrale $$I = \int_0^\pi \frac{\sin^3 t}{1+\cos^2 t}\;dt.$$

Soit $\alpha > 2$. À l’aide d’une intégration par parties, calculer $$J(\alpha) = \int_2^\alpha \frac{\ln x}{x^2}\;dx.$$

En déduire la valeur de $\displaystyle\int_2^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2}\;dx$.