exo7 6651

Montrer les inégalités suivantes, pour tout $z\in \C$, $$\vert e^z-1\vert\le\vert z\vert e^{\vert z\vert}\mbox{ et } \vert e^z-1-z\vert\le{\vert z\vert^2\over 2}e^{\vert z\vert}$$

Soit $K$ un compact inclus dans ${\Cc}$, $f$ une fonction continue sur $K$ et $(f_n)_{n\ge 1}$ une suite de fonctions définies sur $K$ convergeant uniformément vers $f$ sur $K$. Montrer que $(\exp{f_n})_{n\ge 1}$ tend vers $\exp f$ uniformément sur $K$ (on pourra appliquer la première inégalité de a) à $f_n(z)-f(z)$ ).

Montrer que $\left(\left(1+{z\over n}\right)^n\right)_{n\ge 1}$ tend vers $e^z$ uniformément sur tout compact de ${\Cc}$.