1
Montrer les inégalités suivantes, pour tout \(z\in \C\), \[\vert e^z-1\vert\le\vert z\vert e^{\vert z\vert}\mbox{ et } \vert e^z-1-z\vert\le{\vert z\vert^2\over 2}e^{\vert z\vert}\]
2
Soit \(K\) un compact inclus dans \({\Cc}\), \(f\) une fonction continue sur \(K\) et \((f_n)_{n\ge 1}\) une suite de fonctions définies sur \(K\) convergeant uniformément vers \(f\) sur \(K\). Montrer que \((\exp{f_n})_{n\ge 1}\) tend vers \(\exp f\) uniformément sur \(K\) (on pourra appliquer la première inégalité de a) à \(f_n(z)-f(z)\) ).
3
Montrer que \(\left(\left(1+{z\over n}\right)^n\right)_{n\ge 1}\) tend vers \(e^z\) uniformément sur tout compact de \({\Cc}\).