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Soit $z_0 \in \Omega$ tel que $f'(z_0) = 0$. Démontrer que $z \mapsto \vert f(z) \vert$ est $\Cc$-différentiable en $z_0$. (On pourra utiliser le développement en série entière de $f$ au voisinage de $z_0$.)

Soit $z_1 = x_1 + iy_1 \in \Omega$ tel que $f(z_1) \neq 0$. Démontrer que $(x,y) \mapsto \vert f(x+iy) \vert$ est $\Rr$-différentiable en $(x_1,y_1)$.

Soit $z_2 = x_2 + iy_2 \in \Omega$ tel que $f(z_2) \neq 0$ et tel que $z \mapsto \vert f(z) \vert$ soit $\Cc$-différentiable en $z_2$. Démontrer que $f'(z_2) = 0$. (On pourra utiliser les conditions de Cauchy-Riemann.)

Soit $z_3 = x_3 + iy_3 \in \Omega$ tel que $f(z_3) = 0$ et $f'(z_3) \neq 0$.

L’application $(x,y) \mapsto \vert f(x+iy) \vert$ est-elle $\Rr$-différentiable en $(x_3,y_3)$ ? L’application $z \mapsto \vert f(z) \vert$ est-elle $\Cc$-différentiable en $z_3$ ?

Donner le domaine où $z \mapsto \vert f(z) \vert$ est continue, puis celui où $z \mapsto \vert f(z) \vert$ est $\Cc$-différentiable, et enfin celui où $(x,y) \mapsto \vert f(x+iy) \vert$ est $\Rr$-différentiable.