Soit \(f\) une application holomorphe (c’est-à-dire \(\Cc\)-différentiable) d’un ouvert \(\Omega \subset \Cc\) dans \(\Cc\).
Soit \(z_0 \in \Omega\) tel que \(f'(z_0) = 0\). Démontrer que \(z \mapsto \vert f(z) \vert\) est \(\Cc\)-différentiable en \(z_0\). (On pourra utiliser le développement en série entière de \(f\) au voisinage de \(z_0\).)
Soit \(z_1 = x_1 + iy_1 \in \Omega\) tel que \(f(z_1) \neq 0\). Démontrer que \((x,y) \mapsto \vert f(x+iy) \vert\) est \(\Rr\)-différentiable en \((x_1,y_1)\).
Soit \(z_2 = x_2 + iy_2 \in \Omega\) tel que \(f(z_2) \neq 0\) et tel que \(z \mapsto \vert f(z) \vert\) soit \(\Cc\)-différentiable en \(z_2\). Démontrer que \(f'(z_2) = 0\). (On pourra utiliser les conditions de Cauchy-Riemann.)
Soit \(z_3 = x_3 + iy_3 \in \Omega\) tel que \(f(z_3) = 0\) et \(f'(z_3) \neq 0\).
L’application \((x,y) \mapsto \vert f(x+iy) \vert\) est-elle \(\Rr\)-différentiable en \((x_3,y_3)\) ? L’application \(z \mapsto \vert f(z) \vert\) est-elle \(\Cc\)-différentiable en \(z_3\) ?
Donner le domaine où \(z \mapsto \vert f(z) \vert\) est continue, puis celui où \(z \mapsto \vert f(z) \vert\) est \(\Cc\)-différentiable, et enfin celui où \((x,y) \mapsto \vert f(x+iy) \vert\) est \(\Rr\)-différentiable.