On rappelle qu’à toute matrice \(A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\) de \(GL(2,\Cc)\), on associe l’application linéaire fractionnaire \[\begin{array}{cccc} f_A :& \Cc-\{-\frac{-d}{c}\}&\longrightarrow&\Cc-\{\frac{a}{c}\}\\&z&\longmapsto& \frac{az+b}{cz+d} \end{array}\]
1
Vérifier que \(f_{A^{-1}}=f_A^{-1}\).
2
On choisit désormais la matrice \(C=\begin{pmatrix} 1&-i\\1&i\end{pmatrix}\). Expliciter le biholomorphisme \(h=f_C\) et son inverse \(h^{-1}\).
3
Montrer que \[\begin{aligned} 1-|h(z)|^2=\frac{4 Im(z)}{|z+i|^2}\\ Im(h^{-1}(z))=\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}\end{aligned}\]
4
En déduire l’image du demi-plan de Poincaré \(\mathbb{H}\) par \(h\).