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On rappelle qu’à toute matrice $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ de $GL(2,\Cc)$ , on associe l’application linéaire fractionnaire $\begin{array}{cccc} f_A :& \Cc-\{-\frac{-d}{c}\}&\longrightarrow&\Cc-\{\frac{a}{c}\}\\&z&\longmapsto& \frac{az+b}{cz+d} \end{array}$

Vérifier que $f_{A^{-1}}=f_A^{-1}$ .

On choisit désormais la matrice $C=\begin{pmatrix} 1&-i\\1&i\end{pmatrix}$ . Expliciter le biholomorphisme $h=f_C$ et son inverse $h^{-1}$ .

Montrer que $\begin{aligned} 1-|h(z)|^2=\frac{4 Im(z)}{|z+i|^2}\\ Im(h^{-1}(z))=\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2} \end{aligned}$

En déduire l’image du demi-plan de Poincaré $\mathbb{H}$ par $h$ .

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