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Calculer les résidus aux différents pôles de la fonction $f(z)={z^2+z+1\over z(z^2+1)^2};\ f(z)=\displaystyle{1\over 1+z+\cdots+z^{n-1}};\ f(z)={1\over e^z-1}-{1\over z}$.

Montrer que si $f(z)=(z-a)^{-n} g(z)$ où $g$ est holomorphe dans $\Omega$ ouvert contenant $a$, alors Res$(f,a)=\displaystyle{g^{(n-1)}(a)\over (n-1)!}$. Trouver les pôles et résidus des fonctions suivantes : $\displaystyle{1-\cos z\over z^3},\ \displaystyle{e^{2z}\over (z-1)^3},\ \displaystyle{1\over (1+z^2)^n}\$.