Si \(f\) a un pôle d’ordre \(N\) en \(z_0\), on a, avec \(a_{-N}\neq 0\), \[f(z) = \sum_{n= -N}^\infty a_n (z-z_0)^n = \frac{a_{-N}}{(z-z_0)^N} +...+\frac{a_{-1}}{z-z_0}+a_0+...\] D’où \[(z-z_0)^N f(z) = a_{-N} +...+a_{-1} (z-z_0)^{N-1} +a_0 (z-z_0)^N+....\] ce qui donne \[\left(\frac{d}{dz}\right)^{N-1}\big[ (z-z_0)^N f(z) \big]= (N-1)! \,a_{-1} +o(z-z_0) .\] La formule en résulte en faisant tendre \(z\) vers \(z_0\). Le cas \(N=1\) est important pour la pratique. Notons que, si \(f\) a un pôle simple en \(z_0\), cette fonction s’écrit \(f=h/g\) au voisinage de \(z_0\) où \(h,g\) sont des fonctions holomorphes au voisinage de \(z_0\) telles que \(h\) ne s’annule pas en \(z_0\) et \(g\) a un zéro simple en \(z_0\), i.e. \(g(z_0)=0\) et \(g'(z_0)\neq 0\). Comme \[\mathrm{Res} (f, z_0) =\lim_{z\to z_0} (z-z_0) f(z) = h(z_0)\lim_{z\to z_0} \frac{z-z_0}{g(z)-g(z_0)}\] on a aussi la formule utile \[\begin{equation} \label{1} \mathrm{Res} (f, z_0) = \frac{h(z_0)}{g'(z_0)}. \end{equation}\]

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