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Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) avec \(f(1)\neq 0\), montrer : \[\int_{0}^{1}x^{n}f(t)dt\sim \frac{f(1)}{n}.\] En déduire : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{n}e^{-2t}\left( 1-\frac{t}{n}\right) ^{n}dt\] On posera \(u=1-\frac{1}{n}\) puis \(v=ue^{2(u-1)}.\)