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(Coégalisateur) Soient $A$ et $B$ deux ensembles et $f$ et $g$ deux applications entre $A$ et $B$. On définit sur $B$ la relation binaire suivante : $\mathcal R$ est la relation d’équivalence la plus fine telle que $\forall a\in A, f(a)\mathcal R g(a)$. Le coégalisateur de $f$ et $g$ est par définition l’ensemble quotient $C = B/\mathcal R$. On note $\pi : B \to C$ la surjection canonique sur le quotient. On a alors $\pi\circ f = \pi \circ g$.

Montrer que $C$ et $\pi$ vérifient la propriété suivante (dite propriété universelle du coégalisateur):

Pour tout ensemble $X$ et application $\phi : B \to X$ vérifiant $\phi\circ f = \phi\circ g$, il existe une unique application $h : C\to X$ telle que $\phi = h \circ \pi$.