(Coégalisateur) Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles et \(f\) et \(g\) deux applications entre \(A\) et \(B\). On définit sur \(B\) la relation binaire suivante : \(\mathcal R\) est la relation d’équivalence la plus fine telle que \(\forall a\in A, f(a)\mathcal R g(a)\). Le coégalisateur de \(f\) et \(g\) est par définition l’ensemble quotient \(C = B/\mathcal R\). On note \(\pi : B \to C\) la surjection canonique sur le quotient. On a alors \(\pi\circ f = \pi \circ g\).
Montrer que \(C\) et \(\pi\) vérifient la propriété suivante (dite propriété universelle du coégalisateur):
Pour tout ensemble \(X\) et application \(\phi : B \to X\) vérifiant \(\phi\circ f = \phi\circ g\), il existe une unique application \(h : C\to X\) telle que \(\phi = h \circ \pi\).