On se propose de démontrer que pour tout \(z\) de \(\C\), \[\prod_{n\ge 1}\left( 1-{z^2\over n^2}\right)={\sin{(\pi z)}\over \pi z}\]
On pose \[F(z) ={1\over z}+\sum_{n\in {\Zz}, n\ne 0}\left({1\over z-n}+{1\over n}\right)\] Montrer que \(F\) est une fonction méromorphe sur \(\C\).
En utilisant \[\sum_{n\in{\Zz}}{1\over (z-n)^2}=\left({\pi\over \sin{(\pi z)}}\right)^2\] montrer que \(\displaystyle F(z)-{\pi\over \tan{(\pi z)}}\) est constante sur \(\C\setminus {\Zz}\), puis calculer cette constante par un argument de parité. En déduire que \[{\pi\over \tan{(\pi z)}}={1\over z}+\sum_{n\ge 1}{2z\over z^2-n^2}\]
Pour \(n\ge 1\), soit \(\displaystyle f_n(z)=1-{z^2\over n^2}\). Montrer que \(\prod_{n\ge 1}f_n(z)\) définit une fonction entière \(f\).
Montrer que \[\sum_{n\ge 1}{f_n'(z)\over f_n(z)}={g'(z)\over g(z)}\] avec \(\displaystyle g(z)={\sin{(\pi z)}\over \pi z}\). En déduire le résultat voulu.
Déduire de la décomposition de \(\displaystyle {\sin{(\pi z)}\over \pi z}\) en produit que \[\begin{aligned} {\sh z\over z}&=&\prod_{n\ge 1}\left( 1+{z^2\over n^2\pi^2}\right)\\ \ch z&=&\prod_{n\ge 1}\left( 1+{4z^2\over (2n-1)^2\pi^2}\right)\\ \cos z&=&\prod_{n\ge 1}\left( 1-{4z^2\over (2n-1)^2\pi^2}\right)\\\end{aligned}\]