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On pose $$F(z) ={1\over z}+\sum_{n\in {\Zz}, n\ne 0}\left({1\over z-n}+{1\over n}\right)$$ Montrer que $F$ est une fonction méromorphe sur $\C$.

En utilisant $$\sum_{n\in{\Zz}}{1\over (z-n)^2}=\left({\pi\over \sin{(\pi z)}}\right)^2$$ montrer que $\displaystyle F(z)-{\pi\over \tan{(\pi z)}}$ est constante sur $\C\setminus {\Zz}$, puis calculer cette constante par un argument de parité. En déduire que $${\pi\over \tan{(\pi z)}}={1\over z}+\sum_{n\ge 1}{2z\over z^2-n^2}$$

Pour $n\ge 1$, soit $\displaystyle f_n(z)=1-{z^2\over n^2}$. Montrer que $\prod_{n\ge 1}f_n(z)$ définit une fonction entière $f$.

Montrer que $$\sum_{n\ge 1}{f_n'(z)\over f_n(z)}={g'(z)\over g(z)}$$ avec $\displaystyle g(z)={\sin{(\pi z)}\over \pi z}$. En déduire le résultat voulu.

Déduire de la décomposition de $\displaystyle {\sin{(\pi z)}\over \pi z}$ en produit que $$\begin{aligned} {\sh z\over z}&=&\prod_{n\ge 1}\left( 1+{z^2\over n^2\pi^2}\right)\\ \ch z&=&\prod_{n\ge 1}\left( 1+{4z^2\over (2n-1)^2\pi^2}\right)\\ \cos z&=&\prod_{n\ge 1}\left( 1-{4z^2\over (2n-1)^2\pi^2}\right)\\ \end{aligned}$$