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Si $(x,y)\in\Rr^2$, on pose $||(x,y)||=\max(|x+y|,|x-2y|)$. Montrer qu’il s’agit d’une norme sur $\Rr^2$ et dessiner sa boule unité fermée.

Soit $p,q$ deux normes sur $\Rr^n$, $B_p$ et $B_q$ leurs boules unités fermées. Montrer que $$B_q\subset B_p\Longleftrightarrow p\leq q.$$

Que signifie ${1\over2}B_p\subset B_q\subset 2B_p$ ? Exemples.