Les expressions \(x(t)=\cos^3t\) et \(y(t)=\sin^3t\) sont bien définies pour tout \(t\in\R\).

Réduction de l’intervalle d’étude
Les fonctions \(x\) et \(y\) étant \(2\pi\)-périodiques, il suffit de restreindre l’étude à un intervalle de longueur \(2\pi\) pour obtenir l’intégralité du support de la courbe.
La fonction \(x\) est paire, la fonction \(y\) est impaire: on fait donc l’étude sur \([0;\pi]\), puis la courbe complète sera obtenue par symétrie par rapport à l’axe \((Ox)\).
On constate que \(x(\pi-t)=-x(t)\) et que \(y(\pi-t)=y(t)\), par conséquent les points \(M(\frac{\pi}{2}-t)\) et \(M(\frac{\pi}{2}+t)\) sont symétriques par rapport à l’axe \((Oy)\): on restreint donc l’étude à \([0;\frac{\pi}{2}]\), puis on complète par symétrie par rapport à \((Oy)\).
puis on complète en utilisant successivement les symétries par rapport à \((Oy)\) et \((Ox)\). Tableau de variations conjointes
Les fonctions \(x\) et \(y\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\). Soit \(t\in[0;\frac{\pi}{2}]\): \[\begin{array}{lcl} x(t)=\cos^3t&\ &y(t)=\sin^3t\\ x'(t)=-3\sin t\cos^2t&\ &y'(t)=3\cos t\sin^2t\\ x'(t)<0\Longleftrightarrow t\in]0;\frac{\pi}{2}[&\ &y'(t)>0\Longleftrightarrow t\in]0;\frac{\pi}{2}[\\ x'(t)=0\Longleftrightarrow t\in\{0;\frac{\pi}{2}\} &\ &y'(t)=0\Longleftrightarrow t\in\{0;\frac{\pi}{2}\} \end{array}\] \[\begin{array}{c|lcr} t&0&\ &\frac{\pi}{2}\\\hline x'(t)&0&-&0\\\hline \ &1 &\ &\ \\ x&\ &\searrow &\ \\ \ & &\ &0 \\\hline \ &\ &\ &1 \\ y&\ &\nearrow &\ \\ \ &0 &\ & \\\hline y'(t)&0&+&0\\ \end{array}\]

Cela signifie que lorsque \(t\) varie de \(0\) à \(\frac\pi2\) la courbe va vers la gauche (car \(x(t)\) décroît) en montant (car \(y(t)\) croît) du point \((1,0)\) à \((0,1)\). Points particuliers

\(M(\frac\pi6) = \big(\frac{3\sqrt3}{8},\frac18\big) = (0.64\ldots,0.125)\) ; la tangente est dirigée par \(\big(x'(\frac\pi6),y'(\frac\pi6)\big) = \big(-\frac98,\frac{3\sqrt3}{8} \big) = (-1.125,0.64\ldots)\). \(M(\frac\pi4) = \big(\frac{\sqrt2}{4},\frac{\sqrt2}{4}\big) = (0.35\ldots,0.35\ldots)\) ; la tangente est dirigée par \(\big(x'(\frac\pi4),y'(\frac\pi4)\big) = \big(-\frac{3\sqrt2}{4},\frac{3\sqrt2}{4}\big) = (-1.06\ldots,1.06\ldots)\). \(M(\frac\pi3) = \big(\frac18,\frac{3\sqrt3}{8}\big) = (0.125,0.64\ldots)\) ; la tangente est dirigée par \(\big(x'(\frac\pi3),y'(\frac\pi3)\big) = \big(-\frac{3\sqrt3}{8},\frac98\big) = (-0.64\ldots,1.125)\).

Étude des points singuliers
Le point \(M(t)\) est singulier si \(x'(t)=y'(t)=0\), ce qui est le cas dans le domaine d’étude \([0;\frac{\pi}{2}]\) uniquement pour \(t=0\) et \(t=\frac{\pi}{2}\). Pour déterminer la tangente au point \(M(0)\) (de coordonnées cartésiennes \((1,0)\)), on étudie la limite en 0 de \[\frac{y(t)-y(0)}{x(t)-x(0)}=\frac{\sin^3t}{\cos^3t-1}\] Or \(\sin^3t\underset{0}{\sim}t^3\) et \(\cos^3t-1=(1-\frac{t^2}{2}+o(t^2))^3-1\underset{0}{\sim}-3\frac{t^2}{2}\), donc le quotient est équivalent à \(-\frac{2}{3}t\) et tend vers 0 en 0. Ainsi, \(\mathcal{C}\) admet au point \(M(0)\) une tangente, de pente nulle c’est-à-dire horizontale.

Les expressions \(x(t)=t-\tanh t\) et \(y(t)=\frac{1}{\ch t}\) sont bien définies pour tout \(t\in\R\).

Réduction du domaine d’étude
Comme \(x\) est impaire et \(y\) paire, puis on complète par symétrie par rapport à l’axe \((Oy)\). Tableau de variations conjointes
Les fonctions \(x\) et \(y\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\). Pour \(t\in\R^+\): \[\begin{array}{lcl} x(t)=t-\tanh t&\ &y(t)=\frac{1}{\ch t}\\ x'(t)=\tanh ^2t&\ &y'(t)=-\frac{\sh t}{\ch ^2t}\\ x'(t)>0\Longleftrightarrow t>0&\ &y'(t)<0\Longleftrightarrow t>0\\ x'(t)=0\Longleftrightarrow t=0 &\ &y'(t)=0\Longleftrightarrow t=0 \end{array}\] \[\begin{array}{c|lcr} t&0&\ &+\infty\\\hline x'(t)&0&+&\ \\\hline \ & &\ &+\infty\ \\ x&\ &\nearrow &\ \\ \ &0 &\ & \\\hline \ &1 &\ & \\ y&\ &\searrow &\ \\ \ & &\ & 0\\\hline y'(t)&0& - &\ \\ \end{array}\] Cela signifie que le courbe va vers la droite et vers le bas lorsque \(t\) va de \(0\) à \(+\infty\). Étude des points singuliers
Le seul point singulier est \(M(0)\), or \(\displaystyle \frac{y(t)-y(0)}{x(t)-x(0)}=\frac{1-\ch t}{t\ch t-\mathrm{sh t}}\) et \[\frac{1-\ch t}{t\ch t-\mathrm{sh t}}=\frac{-t^2/2+o(t^2)}{t(1+t^2/2+o(t^2))-(t+t^3/6+o(t^3))}\underset{0}{\sim}\frac{-t^2/2}{t^3/3}\] et par conséquent \(\frac{y(t)-y(0)}{x(t)-x(0)}\xrightarrow[t\to 0^+]{}-\infty\). Ainsi \(\mathcal{C}\) possède une tangente verticale au point \(M(0)\) de coordonnées cartésiennes \((0,1)\). Étude des branches infinies
Comme \(x(t)\xrightarrow[t\to+\infty]{}+\infty\) et \(y(t)\xrightarrow[t\to+\infty]{}0\), l’axe des abscisses est asymptote à \(\mathcal{C}\).

Les expressions \(x(t)=t-\sin t\) et \(y(t)=1-\cos t\) sont bien définies pour \(t\in\R\).

Réduction du domaine d’étude
On remarque que \(x(t+2\pi)=2\pi+x(t)\) et \(y(t+2\pi)=y(t)\): le point \(M(t+2\pi)\) se déduit de \(M(t)\) par translation de vecteur \(2\pi\cdot\vec{i}\). Il suffit donc d’étudier la courbe sur l’intervalle \([-\pi;\pi]\).

La fonction \(x\) étant impaire et \(y\) paire, on restreint l’étude à \([0;\pi]\) puis on complète par symétrie par rapport à l’axe \((Oy)\).
puis on complète en utilisant successivement la symétrie par rapport à \((Oy)\), puis des translations successives de vecteur \(2\pi\cdot\vec{i}\). Tableau de variations conjointes
Les fonctions \(x\) et \(y\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\). Soit \(t\in[0;\pi]\): \[\begin{array}{lcl} x(t)=t-\sin t&\ &y(t)=1-\cos t\\ x'(t)=1-\cos t&\ &y'(t)=\sin t\\ x'(t)>0\Longleftrightarrow t>0&\ &y'(t)>0\Longleftrightarrow 0<t<\pi\\ x'(t)=0\Longleftrightarrow t=0 &\ &y'(t)=0\Longleftrightarrow t\in\{0;\pi\} \end{array}\] \[\begin{array}{c|lcr} t&0&\ &\pi\\\hline x'(t)&0&+&2 \\\hline \ & &\ &\pi \\ x&\ &\nearrow &\ \\ \ &0 &\ & \\\hline \ & &\ & 2\\ y&\ &\nearrow &\ \\ \ &0 &\ & \\\hline y'(t)&0& + &0\ \\ \end{array}\] La courbe va vers la droite en montant lorsque \(t\) varie de \(0\) à \(\frac\pi2\). Étude des points singuliers
Le point \(M(0)\), qui est l’origine, est singulier. Pour étudier l’existence d’une tangente en ce point, on considère \[\frac{y(t)-y(0)}{x(t)-x(0)}=\frac{1-\cos t}{t-\sin t}\underset{0}{\sim}\frac{t^2/2}{t^3/6}\] et donc \(\frac{y(t)-y(0)}{x(t)-x(0)}\xrightarrow[t\to 0^+]{}+\infty\). Par conséquent, la courbe possède une tangente de pente verticale au point \(M(0)\).

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