Soit \((a_i)\) une subdivision de \([a,b]\) et \(P\) la ligne brisée passant par les points \((a_i, f(a_i))\). On montre ci-dessous que pour toute courbe rectifiable \(L\) située au dessus de \(P\) et ayant même extrémités, on a \(\mathrm{long}(L) \ge \mathrm{long}(P)\) (résultat intuitivement évident : planter des clous aux points \((a_i,f(a_i))\) et attacher un élastique en \((a,f(a))\) et \((b,f(b))\), passant au dessus de ces clous). Cela étant montré, l’inégalité demandée en résulte en faisant tendre le pas de la subdivision vers zéro.

Démonstration du thm de l’élastique : par récurrence sur le nombre \(n\) de segments de \(P\). Pour \(n=1\) c’est un fait connu. \(n-1 \Rightarrow n\) : si \(L\) passe par \((a_1,f(a_1))\) alors l’hypothèse de récurrence s’applique. Sinon, notons \(D\) la demi-droite issue de \((a_0,f(a_0))\) et passant par \((a_1,f(a_1))\). Par concavité, \(P\) est en dessous de \(D\). \(L\) contient un point d’abscisse \(a_1\) strictement au dessus de \(D\), et aboutit en \((b,f(b))\) en dessous de \(D\), donc il existe un point \((u,v)\) sur \(L \cap D\) avec \(u > a_1\). En remplaçant l’arc \((a_0,f(a_0))\) – \((u,v)\) de \(L\) par le segment correspondant on obtient une ligne \(L'\) plus courte que \(L\), encore au dessus de \(P\), et qui relève du premier cas.

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