Soit $(a_i)$ une subdivision de $[a,b]$ et $P$ la ligne brisée passant par les points $(a_i, f(a_i))$ . On montre ci-dessous que pour toute courbe rectifiable $L$ située au dessus de $P$ et ayant même extrémités, on a $\mathrm{long}(L) \ge \mathrm{long}(P)$ (résultat intuitivement évident : planter des clous aux points $(a_i,f(a_i))$ et attacher un élastique en $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$ , passant au dessus de ces clous). Cela étant montré, l’inégalité demandée en résulte en faisant tendre le pas de la subdivision vers zéro.

Démonstration du thm de l’élastique : par récurrence sur le nombre $n$ de segments de $P$ . Pour $n=1$ c’est un fait connu. $n-1 \Rightarrow n$ : si $L$ passe par $(a_1,f(a_1))$ alors l’hypothèse de récurrence s’applique. Sinon, notons $D$ la demi-droite issue de $(a_0,f(a_0))$ et passant par $(a_1,f(a_1))$ . Par concavité, $P$ est en dessous de $D$ . $L$ contient un point d’abscisse $a_1$ strictement au dessus de $D$ , et aboutit en $(b,f(b))$ en dessous de $D$ , donc il existe un point $(u,v)$ sur $L \cap D$ avec $u > a_1$ . En remplaçant l’arc $(a_0,f(a_0))$ – $(u,v)$ de $L$ par le segment correspondant on obtient une ligne $L'$ plus courte que $L$ , encore au dessus de $P$ , et qui relève du premier cas.

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