Soit $t>0$ : $\left\{\begin{array}{l} x(\frac{1}{t})=\frac{1}{t}\ln(\frac{1}{t})=-y(t)\\ \ \\ y(\frac{1}{t})=t\ln(\frac{1}{t})=-x(t) \end{array}\right.$ et par conséquent, le point $M(\frac{1}{t})$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à la droite d’équation $y=-x$ . On restreint l’étude à l’intervalle $]0;1]$ , puis on obtiendra l’intégralité de la courbe par symétrie par rapport à la seconde bissectrice. Les fonctions $x$ et $y$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0;1]$ .

Tableau de variations conjointes
Pour $t\in]0;1]$ : $\begin{array}{lcl} x(t)=t\ln t&\ &y(t)=\frac{\ln t}{t}\\ x'(t)=1+\ln t&\ &y'(t)=\frac{1-\ln t}{t^2}\\ x'(t)>0\Longleftrightarrow t>1/e&\ &y'(t)>0 \\ x'(t)=0\Longleftrightarrow t=1/e &\ &y'(t)\not=0 \end{array}$ puisque $\frac{1}{e}<1<e$ . On obtient donc le tableau suivant: $\begin{array}{c|lcccr} t&0&\ &1/e&\ &1\\\hline x'(t)&-\infty &-&0&+&1 \\\hline \ &0 &\ & & & 0\\ x&\ &\searrow &\ &\nearrow & \\ \ & & &-1/e &\ & \\\hline \ & &\ & & &0 \\ &\ & &\ &\nearrow& \\ &\ & &-e & & \\ y&\ &\nearrow &\ &\ & \\ \ &-\infty & & &\ & \\\hline y'(t)&+\infty & + &2e^2 & +&1 \\ \end{array}$ Il n’y a pas de point singulier.
Étude des branches infinies
Comme $x(t)\xrightarrow[t\to 0^+]{}0$ et $y(t)\xrightarrow[t\to 0^+]{}-\infty$ , l’axe des ordonnées est asymptote à $\mathcal{C}$ .

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