Soit \(t>0\): \[\left\{\begin{array}{l} x(\frac{1}{t})=\frac{1}{t}\ln(\frac{1}{t})=-y(t)\\ \ \\ y(\frac{1}{t})=t\ln(\frac{1}{t})=-x(t) \end{array}\right.\] et par conséquent, le point \(M(\frac{1}{t})\) est le symétrique de \(M(t)\) par rapport à la droite d’équation \(y=-x\). , puis on obtiendra l’intégralité de la courbe par symétrie par rapport à la seconde bissectrice. Les fonctions \(x\) et \(y\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0;1]\).

Tableau de variations conjointes
Pour \(t\in]0;1]\): \[\begin{array}{lcl} x(t)=t\ln t&\ &y(t)=\frac{\ln t}{t}\\ x'(t)=1+\ln t&\ &y'(t)=\frac{1-\ln t}{t^2}\\ x'(t)>0\Longleftrightarrow t>1/e&\ &y'(t)>0 \\ x'(t)=0\Longleftrightarrow t=1/e &\ &y'(t)\not=0 \end{array}\] puisque \(\frac{1}{e}<1<e\). On obtient donc le tableau suivant: \[\begin{array}{c|lcccr} t&0&\ &1/e&\ &1\\\hline x'(t)&-\infty &-&0&+&1 \\\hline \ &0 &\ & & & 0\\ x&\ &\searrow &\ &\nearrow & \\ \ & & &-1/e &\ & \\\hline \ & &\ & & &0 \\ &\ & &\ &\nearrow& \\ &\ & &-e & & \\ y&\ &\nearrow &\ &\ & \\ \ &-\infty & & &\ & \\\hline y'(t)&+\infty & + &2e^2 & +&1 \\ \end{array}\] Il n’y a pas de point singulier. Étude des branches infinies
Comme \(x(t)\xrightarrow[t\to 0^+]{}0\) et \(y(t)\xrightarrow[t\to 0^+]{}-\infty\), l’axe des ordonnées est asymptote à \(\mathcal{C}\).

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