Soit \(B \in { K[X]}\) de degré \(n > 0\). On considère les applications : \[\Phi : { K[X]} \to { K_{n-1}[X]}, P \mapsto R\] et \[\Psi : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto Q\quad \text{ avec }P = QB + R.\]
1
Montrer que \(\Phi\) et \(\Psi\) sont linéaires. Chercher leurs noyaux et leurs images.
2
Simplifier \(\Phi(P_1P_2)\).