Soit \(\Phi : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1)+P(X-1)-2P(X)}\)
1
Chercher \(\deg(\Phi(P))\) en fonction de \(\deg P\).
2
En déduire \(\mathrm{Ker}\Phi\) et \(\Im\Phi\).
3
Montrer que : \(\forall\ Q \in { K[X]},\ \exists!\ P \in { K[X]}\) tq \(\begin{cases}\Phi(P) = Q \cr P(0) = P'(0) = 0.\end{cases}\)