1
Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{Z}\) ; montrer que la famille des sous-groupes contenant \(A\) n’est pas vide. Soit \(H\) une partie contenant \(A\). Montrer l’équivalence des conditions suivantes :
2
[i)] \(H\) est l’intersection des sous-groupes de \(\mathbb{Z}\) qui contiennent \(A\),
3
[ii)] \(H\) est le plus petit sous-groupe de \(\mathbb{Z}\) qui contient \(A\),
4
[iii)] \(H\) est l’ensemble des sommes finies d’éléments de \(A\) ou d’éléments dont l’opposé est dans \(A\).