exo7 289

Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{Z}$ ; montrer que la famille des sous-groupes contenant $A$ n’est pas vide. Soit $H$ une partie contenant $A$. Montrer l’équivalence des conditions suivantes :

[i)] $H$ est l’intersection des sous-groupes de $\mathbb{Z}$ qui contiennent $A$,

[ii)] $H$ est le plus petit sous-groupe de $\mathbb{Z}$ qui contient $A$,

[iii)] $H$ est l’ensemble des sommes finies d’éléments de $A$ ou d’éléments dont l’opposé est dans $A$.