Soit $P$ un polynôme non nul à coefficients réels.

Pour tout réel $x$ , on peut écrire

$P(x)=\lambda\prod_{i=1}^{k}(x-a_i)^{\alpha_i}\prod_{j=1}^{l}((x-z_j)(x-\overline{z_j}))^{\beta_j},$

où $\lambda$ est un réel non nul, $k$ et $l$ sont des entiers naturels, les $a_i$ sont des réels deux à deux distincts, les $\alpha_i$ et les $\beta_i$ des entiers naturels et les $(x-z_j)(x-\overline{z_j})$ des polynômes deux à deux premiers entre eux à racines non réelles.

Tout d’abord, pour tout réel $x$ , $\prod_{j=1}^{l}((x-z_j)(x-\overline{z_j}))^{\beta_j}>0$ (tous les trinomes du second degré considérés étant unitaires sans racines réelles.)

Donc, $(\forall x\in\Rr,\;P(x)\geq0)\Leftrightarrow(\forall x\in\Rr,\;\lambda\prod_{i=1}^{k}(x-a_i)^{\alpha_i}\geq0)$ .

Ensuite, si $\forall x\in\Rr,\;P(x)\geq0$ , alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}P(x)\geq0$ ce qui impose $\lambda>0$ . Puis, si un exposant $\alpha_i$ est impair, $P$ change de signe en $a_i$ , ce qui contredit l’hypothèse faite sur $P$ . Donc, $\lambda>0$ et tous les $\alpha_i$ sont pairs. Réciproquement, si $\lambda>0$ et si tous les $\alpha_i$ sont pairs, alors bien sûr, $\forall x\in\Rr,\;P(x)\geq0$ .

Posons $A=\sqrt{\lambda}\prod_{i=1}^{k}(x-a_i)^{\alpha_i/2}$ . $A$ est un élément de $\Rr[X]$ car $\lambda>0$ et car les $\alpha_i$ sont des entiers pairs. Posons ensuite $Q_1=\prod_{j=1}^{l}(x-z_j)^{\beta_j}$ et $Q_2=\prod_{j=1}^{l}(x-\overline{z_j})^{\beta_j}$ . $Q_1$ admet après développement une écriture de la forme $Q_1=B+iC$ où $B$ et $C$ sont des polynômes à coefficients réels. Mais alors, $Q_2=B-iC$ . Ainsi, $P=A^2Q_1Q_2=A^2(B+iC)(B-iC)=A^2(B^2+C^2)=(AB)^2+(AC)^2=R^2+S^2,$

où $R$ et $S$ sont des polynômes à coefficients réels.

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