Soit \(P=X^n-1\) et \(F=\frac{1}{P}\). La partie entière de \(F\) est nulle et les pôles de F sont simples (car \(P=X^n-1\) et \(P'=nX^{n-1}\) n’ont pas de racines communes dans \(\Cc\)). De plus, \(P=\prod_{k=0}^{n-1}(X-\omega_k)\) où \(\omega_k=e^{2ik\pi/n}\). Donc, \(F=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\lambda_k}{X-\omega_k}\) où

\[\lambda_k=\frac{1}{P'(\omega_k)}=\frac{1}{n\omega_k^{n-1}}=\frac{\omega_k}{n\omega_k^n}=\frac{\omega_k}{n}.\]

Ainsi,

\[\frac{1}{X^n-1}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{e^{2ik\pi/n}}{X-e^{2ik\pi/n}}.\] Soit \(P=(X-1)(X^n-1)=(X-1)^2\prod_{k=1}^{n-1}\omega_k\) où \(\omega_k=e^{2ik\pi/n}\). Soit \(F=\frac{1}{P}\). La partie entière de \(F\) est nulle. D’autre part, F admet un pôle double, à savoir \(1\) et \(n-1\) pôles simples à savoir les \(\omega_k=e^{2ik\pi/n}\), \(\leq k\leq n-1\). Donc,

\[F=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{(X-1)^2}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\lambda_k}{X-\omega_k}.\]

\(\lambda_k=\frac{1}{(n+1)\omega_k^n-n\omega_k^{n-1}-1}=\frac{1}{n(1-\omega_k^{n-1})}=\frac{\omega_k}{n(\omega_k-1)}\). Ensuite,

\[b=\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)^2F(x)=\frac{1}{1^{n-1}+...+1^1+1}=\frac{1}{n}.\]

Il reste à calculer \(a\).

\[\begin{align*}\ensuremath F-\frac{1}{n(X-1)^2}&=\frac{n-(X^{n-1}+X^{n-2}+...+X+1)}{n(X-1)^2(X^{n-1}+...+X+1)} =\frac{-X^{n-2}-2X^{n-3}-...-(n-2)X-(n-1))}{n(X-1)(X^{n-1}+...+X+1)}. \end{align*}\]

Donc, \(a=\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)(F(x)-\frac{1}{n(x-1)^2})=\frac{-[(n-1)+(n-2)+...+2+1]}{n(1+1...+1)}=-\frac{n-1}{2n}\).

Finalement,

\[F=\frac{1}{n}(-\frac{n-1}{2n(X-1)}+\frac{1}{(X-1)^2}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\omega_k}{\omega_k-1}\frac{1}{X-\omega_k}).\] \(\frac{n!}{(X-1)...(X-n)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\lambda_k}{X-k}\) avec

\[\lambda_k=\lim_{x\rightarrow k}(x-k)F(x)=\frac{n!}{\prod_{j\neq k}^{}(j-k)}=\frac{n!}{(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!}=n(-1)^{n-k}C_{n-1}^{k-1}.\]

Donc,

\[\frac{n!}{(X-1)...(X-n)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{n-k}nC_{n-1}^{k-1}}{X-k}.\] Posons \(P=X^4-2X^2\cos(2a)+1\).

\[\begin{align*}\ensuremath X^4-2X^2\cos(2a)+1&=(X^2-e^{2ia})(X^2-e^{-2ia})=(X-e^{ia})(X-e^{-ia})(X+e^{ia})(X+e^{-ia})\\ &(=(X^2-2X\cos a+1)(X^2+2X\cos a+1)). \end{align*}\]

\(P\) est à racines simples si et seulement si \(e^{ia}\neq\pm e^{-ia}\) ce qui équivaut à \(a\notin\frac{\pi}{2}\Zz\).

Si \(a\in\pi\Zz\),

\[F=\frac{X^2}{(X^2-1)^2}=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{(X-1)^2}-\frac{a}{X+1}+\frac{b}{(X+1)^2}.\]

\(b=\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)^2F(x)=\frac{1}{4}\) puis \(x=0\) fournit \(0=-2a+2b\) et donc \(a=b=\frac{1}{4}\).

\[F=\frac{X^2}{(X^2-1)^2}=\frac{1}{4}(\frac{1}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2}-\frac{1}{X+1}+\frac{1}{(X+1)^2}).\] [2ème cas.] Si \(a\in\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\),

\[F=\frac{X^2}{(X^2+1)^2}=\frac{a}{X-i}+\frac{b}{(X-i)^2}-\frac{a}{X+i}+\frac{b}{(X+i)^2}.\]

\(b=\lim_{x\rightarrow i}(x-i)^2F(x)=\frac{i^2}{(i+i)^2}=\frac{1}{4}\) puis \(x=0\) fournit \(0=2ia-2b\) et donc \(a=-ib=-\frac{i}{4}\).

\[F=\frac{X^2}{(X^2+1)^2}=\frac{1}{4}(-\frac{i}{X-i}+\frac{1}{(X-i)^2}+\frac{i}{X+i}+\frac{1}{(X+i)^2}).\] [3ème cas.] Si \(a\notin\frac{\pi}{2}\Zz\), puisque \(F\) est réelle et paire,

\[F=\frac{A}{X-e^{ia}}+\frac{\overline{A}}{X-e^{-ia}}-\frac{A}{X+e^{ia}}-\frac{\overline{A}}{X+e^{-ia}},\]

avec

\[A=\frac{e^{2ia}}{(e^{ia}-e^{-ia})(e^{ia}+e^{ia})(e^{ia}+e^{-ia})}=\frac{e^{2ia}}{8i\sin a\cos ae^{ia}}=\frac{-ie^{ia}}{4\sin(2a)}.\]

Donc,

\[F=\frac{1}{4\sin(2a)}(-\frac{ie^{ia}}{X-e^{ia}}+\frac{ie^{-ia}}{X-e^{-ia}}+\frac{ie^{ia}}{X+e^{ia}}+\frac{ie^{-ia}}{X+e^{-ia}}).\]

Le polynôme \(X^{2n}+1=\prod_{k=0}^{2n-1}(X-e^{i(\frac{\pi}{2n}+\frac{2k\pi}{2n})})\) est à racines simples car n’a pas de racine commune avec sa dérivée. En posant \(\omega_k=e^{i(\frac{\pi}{2n}+\frac{2k\pi}{2n})}\), on a

\[\frac{1}{X^{2n}+1}=\sum_{k=0}^{2n-1}\frac{\lambda_k}{X-\omega_k},\]

où

\[\lambda_k=\frac{1}{2n\omega_k^{2n-1}}=\frac{\omega_k}{2n\omega_k^{2n}}=-\frac{\omega_k}{2n}.\]

Finalement,

\[\frac{1}{X^{2n}+1}=-\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{2n-1}\frac{\omega_k}{X-\omega_k}.\]

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