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On considère l’application $f$ de $\mathbb{R}^5$ dans $\mathbb{R}^4$ qui à un élément $X=(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$ associe l’élément $Y=(y_1, y_2, y_3, y_4)$ , défini par : $(S)\;\left\{\begin{array}{rcl} x_1+ x_2+3x_3+10x_4+ x_5 & = & y_1 \\ x_1+2x_2+ x_3+ 4x_4+ 7x_5 & = & y_2 \\ x_1+3x_2+4x_3+13x_4+ 8x_5 & = & y_3 \\ x_1+4x_2+2x_3+ 7x_4+14x_5 & = & y_4 \end{array}\right.$

Montrer que $f$ est linéaire.

On considère $A$ l’ensemble des solutions de $(S_H)$ . $(S_H)\;\left\{\begin{array}{rcl} x_1+ x_2+3x_3+10x_4+ x_5 & = & 0 \\ x_1+2x_2+ x_3+ 4x_4+ 7x_5 & = & 0 \\ x_1+3x_2+4x_3+13x_4+ 8x_5 & = & 0 \\ x_1+4x_2+2x_3+ 7x_4+14x_5 & = &0 \end{array}\right.$ Quelle est la nature de $A$ ? Que représente $A$ pour l’application $f$ ? Donner une base de $A$ ; quelle est la dimension de $A$ ? Donner un système minimal d’équations qui définissent $A$ .

Dans l’espace $\mathbb{R}^4$ , on considère les cinq vecteurs : $V_1=(1,1,1,1)$ , $V_2=(1,2,3,4)$ , $V_3=(3,1,4,2)$ , $V_4=(10,4,13,7)$ , $V_5=(1,7,8,14)$ . Que représentent ces vecteurs pour l’application $f$ ? Trouver une base de $\mbox{Im} f$ .

On considère le système $(S)$ où les inconnues sont les $x_i$ , et où les $y_j$ sont des paramètres. Comment interpréter les conditions de possibilité de ce système du point de vue de $f$ ?

Donner une interprétation du théorème du rang relativement à ce système. Quel est le lien entre le rang de $f$ et le rang du système ?

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