On considère l’application \(f\) de \(\mathbb{R}^5\) dans \(\mathbb{R}^4\) qui à un élément \(X=(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)\) associe l’élément \(Y=(y_1, y_2, y_3, y_4)\), défini par : \[(S)\;\left\{\begin{array}{rcl} x_1+ x_2+3x_3+10x_4+ x_5 & = & y_1 \\ x_1+2x_2+ x_3+ 4x_4+ 7x_5 & = & y_2 \\ x_1+3x_2+4x_3+13x_4+ 8x_5 & = & y_3 \\ x_1+4x_2+2x_3+ 7x_4+14x_5 & = & y_4 \end{array}\right.\]
Montrer que \(f\) est linéaire.
On considère \(A\) l’ensemble des solutions de \((S_H)\). \[(S_H)\;\left\{\begin{array}{rcl} x_1+ x_2+3x_3+10x_4+ x_5 & = & 0 \\ x_1+2x_2+ x_3+ 4x_4+ 7x_5 & = & 0 \\ x_1+3x_2+4x_3+13x_4+ 8x_5 & = & 0 \\ x_1+4x_2+2x_3+ 7x_4+14x_5 & = &0 \end{array}\right.\] Quelle est la nature de \(A\) ? Que représente \(A\) pour l’application \(f\) ? Donner une base de \(A\) ; quelle est la dimension de \(A\) ? Donner un système minimal d’équations qui définissent \(A\).
Dans l’espace \(\mathbb{R}^4\), on considère les cinq vecteurs : \(V_1=(1,1,1,1)\), \(V_2=(1,2,3,4)\), \(V_3=(3,1,4,2)\), \(V_4=(10,4,13,7)\), \(V_5=(1,7,8,14)\). Que représentent ces vecteurs pour l’application \(f\) ? Trouver une base de \(\mbox{Im} f\).
On considère le système \((S)\) où les inconnues sont les \(x_i\), et où les \(y_j\) sont des paramètres. Comment interpréter les conditions de possibilité de ce système du point de vue de \(f\) ?
Donner une interprétation du théorème du rang relativement à ce système. Quel est le lien entre le rang de \(f\) et le rang du système ?