L2 Algèbre Endomorphisme particulier Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa PC Prépa PSI Prépa BCPST 2 questions

exo7 3633

Soit $E = K_n[X]$ et $a,b \in K$ distincts. On pose $P_k = (X-a)^k(X-b)^{n-k}$ .

Montrer que $(P_0,\dots,P_n)$ est une base de $E$ .

On suppose $n = 2$ et on prend comme base de $E^*$ : ${\cal B} = (f_a,f_c,f_b)$ où $f_x(P) = P(x)$ et $c = \frac{a+b}2$ . Exprimer les formes linéaires $(P_0^*,P_1^*,P_2^*)$ dans $\cal B$ .