A — Soit \(E\) un espace vectoriel et \(u\) et \(v\) deux endomorphismes de \(E\) diagonalisables qui commutent (c’est à dire qui satisfont \(u\circ v=v\circ u\)). On note \(\lambda_{1}...\lambda_{k}\)les valeurs propres de \(u\) et \(E_{1}...E_{k}\) les espaces propres associés.
Montrer que \(v(E_{i})\subset E_{i}\).
On note \(v_{i}=v_{|_{E_{i}}}\) la restriction de \(v\) à \(E_{i}\). Soit \(P\in\C[X]\), montrer que \(P(v_{i})=P(v)_{|_{E_{i}}}\).
En déduire que \(v_{i}\) est diagonalisable. Soit \(B_{i}\) une base de \(E_{i}\) formée de vecteurs propres de \(v_{i}\).
Montrer que \(B=\bigcup\limits_{i=1}^{k}B_{i}\) est une base de \(E\) formée de vecteurs propres à la fois pour \(u\) et pour \(v\).
En déduire que \(u\) et \(v\) sont diagonalisables dans une même base. Montrer que \(u-v\) est diagonalisable.