OpenYourMath

A — Soit $E$ un espace vectoriel et $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ diagonalisables qui commutent (c’est à dire qui satisfont $u\circ v=v\circ u$ ). On note $\lambda_{1}...\lambda_{k}$ les valeurs propres de $u$ et $E_{1}...E_{k}$ les espaces propres associés.

Montrer que $v(E_{i})\subset E_{i}$ .

On note $v_{i}=v_{|_{E_{i}}}$ la restriction de $v$ à $E_{i}$ . Soit $P\in\C[X]$ , montrer que $P(v_{i})=P(v)_{|_{E_{i}}}$ .

En déduire que $v_{i}$ est diagonalisable. Soit $B_{i}$ une base de $E_{i}$ formée de vecteurs propres de $v_{i}$ .

Montrer que $B=\bigcup\limits_{i=1}^{k}B_{i}$ est une base de $E$ formée de vecteurs propres à la fois pour $u$ et pour $v$ .

En déduire que $u$ et $v$ sont diagonalisables dans une même base. Montrer que $u-v$ est diagonalisable.

exo7 1551

Signaler une erreur