L2 Algèbre Endomorphisme particulier Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 2 questions

exo7 1541

Soit (E,⟨,⟩)(E , \langle , \rangle ) un espace euclidien. Un endomorphisme φ∈L(E)\varphi \in \mathcal{L} (E) est dit antisymétrique lorsque φ∗=−φ.\varphi ^*=-\varphi .

1

Montrer que φ\varphi est antisymétrique si et seulement si ∀x∈E,⟨φ(x),x⟩=0.\forall x \in E , \langle \varphi (x),x \rangle =0 . (on pourra remarquer que φ+φ∗\varphi +\varphi ^* est autoadjoint.)

2

Montrer que si φ\varphi est antisymétrique alors (Ker(φ))⊥=Im(φ)(\hbox{Ker}(\varphi))^\perp =\hbox{Im} (\varphi ) puis que rg(φ)\hbox{rg}(\varphi ) est pair.

Exercice gSmm

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