Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien. Un endomorphisme \(\varphi \in \mathcal{L} (E)\) est dit antisymétrique lorsque \(\varphi ^*=-\varphi .\)
1
Montrer que \(\varphi\) est antisymétrique si et seulement si \(\forall x \in E , \langle \varphi (x),x \rangle =0 .\) (on pourra remarquer que \(\varphi +\varphi ^*\) est autoadjoint.)
2
Montrer que si \(\varphi\) est antisymétrique alors \((\hbox{Ker}(\varphi))^\perp =\hbox{Im} (\varphi )\) puis que \(\hbox{rg}(\varphi )\) est pair.