Dans l’espace vectoriel \(\R^{4}\) muni de son produit scalaire canonique, on considère l’endomorphisme \(f\) dont la matrice dans la base canonique est : \[A =\frac{1}{7} \begin{pmatrix} -1 & -4 & 4 & -4 \\ -4 & 5 & 2 & -2 \\ 4 & 2 & 5 & 2 \\ -4 & -2 & 2 & 5 \end{pmatrix} \rlap{\qquad {(\it attention au $\frac{1}{7}$...)}}\]
Sans calculs, dire pourquoi \(f\) est diagonalisable dans une base orthonormée.
Montrer que \(f\) est orthogonal. En déduire les seules valeurs propres possibles pour \(f\).
Sans calculer le polynôme caractéristique de \(f\), déterminer à l’aide de la trace l’ordre de multiplicité des valeurs propres de \(f\). En déduire le polynôme caractéristique de \(f\).
Déterminer l’espace propre \(E_{1}\) associé à la valeur propre 1. En donner une base, puis lui appliquer le procédé de Schmidt pour obtenir une base orthonormée de \(E_{1}.\)
Montrer que l’espace propre \(E_{-1}\) associé à la valeur propre -1 satisfait \(E_{-1}=(E_{1})^{\bot}\). En utilisant l’équation caractérisant \(E_{1}\), en déduire un vecteur générateur de \(E_{-1}\).
Donner une base orthonormée dans laquelle la matrice de \(f\) est diagonale. Donner une interprétation géométrique de \(f\).