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Sans calculs, dire pourquoi $f$ est diagonalisable dans une base orthonormée.

Montrer que $f$ est orthogonal. En déduire les seules valeurs propres possibles pour $f$.

Sans calculer le polynôme caractéristique de $f$, déterminer à l’aide de la trace l’ordre de multiplicité des valeurs propres de $f$. En déduire le polynôme caractéristique de $f$.

Déterminer l’espace propre $E_{1}$ associé à la valeur propre 1. En donner une base, puis lui appliquer le procédé de Schmidt pour obtenir une base orthonormée de $E_{1}.$

Montrer que l’espace propre $E_{-1}$ associé à la valeur propre -1 satisfait $E_{-1}=(E_{1})^{\bot}$. En utilisant l’équation caractérisant $E_{1}$, en déduire un vecteur générateur de $E_{-1}$.

Donner une base orthonormée dans laquelle la matrice de $f$ est diagonale. Donner une interprétation géométrique de $f$.