On considère un espace euclidien \((E,<>)\). On rappelle que l’adjoint \(u^{*}\) d’un endomorphisme \(u\) est l’endomorphisme caractérisé par : \[\forall (x,y)\in E^{2},\ <u(x),y>=<x,u^{*}(y)>\]
On dit qu’un endomorphisme \(u\) de \(E\) est une similitude de \(E\) si et seulement si \(u\) est la composée d’une homotétie et d’une isométrie, c’est à dire si et seulement si : \[\exists\alpha\in\R\setminus\{0\},\ \exists v\in O(E)\ /\ u=\alpha v.\]
Redémontrer l’équivalence entre les trois caractérisations suivantes des isométries : \[\begin{align*} v\text{ est une isométrie} &\Leftrightarrow \forall x\in E\quad \Vert v(x)\Vert=\Vert x\Vert\\ &\Leftrightarrow \forall (x,y)\in E^{2}\quad <v(x),v(y)>=<x,y>\\ &\Leftrightarrow v^{*}v=\mathrm{id} \end{align*}\]