Dans un espace euclidien \(E\), on considère un vecteur unitaire \(a\), et à un réel \(k\neq -1\) on associe l’endomorphisme \(u_{k}\) de \(E\) défini par : \[u_{k}(x)=k<x,a>a + x\]
1
Montrer que \(u_{k}\) est un isomorphisme. Déterminer \(u_{k}^{-1}\). (on pourra commencer par calculer \(<u_{k}(x),a>\))
2
Rappeler la caractérisation de l’adjoint d’un endomorphisme, et montrer que \(u\) est auto adjoint.
3
Pour quelles valeurs de \(k\) \(u\) est-il orthogonal ? Interpréter alors géométriquement cette transformation.
4
Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de \(u_{k}\).