L2 Algèbre Endomorphisme particulier Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 4 questions

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Dans un espace euclidien $E$ , on considère un vecteur unitaire $a$ , et à un réel $k\neq -1$ on associe l’endomorphisme $u_{k}$ de $E$ défini par : $u_{k}(x)=k<x,a>a + x$

Montrer que $u_{k}$ est un isomorphisme. Déterminer $u_{k}^{-1}$ . (on pourra commencer par calculer $<u_{k}(x),a>$ )

Rappeler la caractérisation de l’adjoint d’un endomorphisme, et montrer que $u$ est auto adjoint.

Pour quelles valeurs de $k$ $u$ est-il orthogonal ? Interpréter alors géométriquement cette transformation.

Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de $u_{k}$ .