Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien de dimension \(4\) et \(\epsilon =\{ e_1, \cdots , e_4\}\) une base orthonormée de \(E .\) Soit \(A\) la matrice \(\displaystyle{ A=\frac{1}{ 4} \begin{pmatrix} 0 & -2 \sqrt{2} & 2 \sqrt2 & 0 \cr 2 \sqrt{2} & 1 & 1 & -\sqrt {6} \cr -2 \sqrt{2} & 1 & 1 & \sqrt {6} \cr 0 & \sqrt {6} & \sqrt {6} & 2 \cr \end{pmatrix} }\) et \(u \in \mathcal{L} (E)\) l’endomorphisme déterminé par \(\hbox{Mat}(u, \epsilon )=A .\)
Montrer que \(u \in \mathcal{O} ^+(E) .\)
Montrer que l’espace vectoriel \(F\) engendré par \(e_1\) et \(u(e_1)\) est stable par \(u .\) Montrer que la restriction de \(u\) à \(F\) est une rotation.
Montrer que \(F^\perp\) est stable par \(u\) et est engendré par \(e_4\) et \(u(e_4) .\) La restriction de \(u\) à \(F^\perp\) est-elle une rotation ?