L2 Algèbre Endomorphisme particulier Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSI 3 questions

exo7 1538

Soit (E,⟨,⟩)(E, \langle , \rangle ) un espace euclidien et f∈L(E)f \in \mathcal{L} (E) un endomorphisme autoadjoint. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

1

∀x∈E,⟨f(x),x⟩≥0\forall x \in E ,\langle f(x), x\rangle \geq 0.

2

Il existe g∈L(E)g\in \mathcal{L} (E) tel que f=g∗g.f=g^*g.

3

Il existe h∈L(E)h\in \mathcal{L} (E) tel que h=h∗h=h^* et f=h2.f=h^2.

Exercice 71gS

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