1
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien, \(f\in\mathcal{L}(E)\) un endomorphisme symétrique positif. Montrer que si \(x\in E\) alors \((f(x)|x)\geq 0.\)
2
Soit \(M=\left( m_{i,j}\right) _{i,j}\in \mathcal{M}_n(\Rr)\) symétrique positive. Montrer que pour tout \(i=1,..,n,\;m_{ii}\geq 0\) et tr\((M)\geq 0\)
3
Soient \(A,\;B\in \mathcal{M}_n(\Rr)\) symétriques positives.
4
Montrer qu’il existe \(D\in \mathcal{M}_n(\Rr)\) diagonale et \(M\in \mathcal{M}_n(\Rr)\) symétrique positive telle que tr\((AB)=\)tr\((DM).\)
5
En déduire que tr\((AB)\leq\)tr\((A)\)tr\((B).\)