Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathcal{L}(E)\). On considère l’application \(\Phi_u\) qui à \(v\in\mathcal{L}(E)\) associe \(v\circ u\).
1
Montrer que \(\Phi_u\in\mathcal{L}({\mathcal{L}(E)})\).
2
Montrer l’équivalence : (\(u\) est diagonalisable) \(\Leftrightarrow\) (\(\Phi_u\) est diagonalisable)…
3
en considérant les polynômes annulateurs de \(u\) et de \(\Phi_u\).
4
en considérant les spectres et sous-espaces propres de \(u\) et de \(\Phi_u\).