L2 Algèbre Endomorphisme particulier Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT 4 questions

exo7 3568

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mathcal{L}(E)$ . On considère l’application $\Phi_u$ qui à $v\in\mathcal{L}(E)$ associe $v\circ u$ .

Montrer que $\Phi_u\in\mathcal{L}({\mathcal{L}(E)})$ .

Montrer l’équivalence : ( $u$ est diagonalisable) $\Leftrightarrow$ ( $\Phi_u$ est diagonalisable)…

en considérant les polynômes annulateurs de $u$ et de $\Phi_u$ .

en considérant les spectres et sous-espaces propres de $u$ et de $\Phi_u$ .