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On considère l’application suivante : \[\alpha~:\begin{array}{ccc} \R_{n}[X] & \rightarrow & \R_{n}[X] \\ P &\mapsto & \int_{0}^{1}P(t)dt \end{array}\] Montrer que \(\alpha\) est une forme linéaire sur \(\R_{n}[X]\).
Pour \(i\in\{0,...,n\}\), on note \(\alpha_{i}\) l’application \[\alpha_{i}~:\begin{array}{ccc} \R_{n}[X] & \rightarrow & \R_{n}[X] \\ P &\mapsto & P(i/n) \end{array}\] Montrer que \(\alpha_{i}\) est une forme linéaire sur \(\R_{n}[X]\), et montrer que la famille \((\alpha_{0},...,\alpha_{n})\) est une base de \({\R_{n}[X]}^{*}\).
En déduire que : \[\exists (\lambda_{0},...,\lambda_{n})\in\R^{n+1}, \forall P\in\R_{n}[X]\quad \int_{0}^{1}P(t)dt = \sum_{i=0}^{n}\lambda_{i}P(i/n)\]