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On considère l’application suivante : $$\alpha~:\begin{array}{ccc} \R_{n}[X] & \rightarrow & \R_{n}[X] \\ P &\mapsto & \int_{0}^{1}P(t)dt \end{array}$$ Montrer que $\alpha$ est une forme linéaire sur $\R_{n}[X]$.

Pour $i\in\{0,...,n\}$, on note $\alpha_{i}$ l’application $$\alpha_{i}~:\begin{array}{ccc} \R_{n}[X] & \rightarrow & \R_{n}[X] \\ P &\mapsto & P(i/n) \end{array}$$ Montrer que $\alpha_{i}$ est une forme linéaire sur $\R_{n}[X]$, et montrer que la famille $(\alpha_{0},...,\alpha_{n})$ est une base de ${\R_{n}[X]}^{*}$.

En déduire que : $$\exists (\lambda_{0},...,\lambda_{n})\in\R^{n+1}, \forall P\in\R_{n}[X]\quad \int_{0}^{1}P(t)dt = \sum_{i=0}^{n}\lambda_{i}P(i/n)$$