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Montrer que $\mathrm{\mathrm{Id}}_E-p$ est un projecteur, calculer $p\circ(\mathrm{Id}_E-p)$ et $(\mathrm{Id}_E-p)\circ p$.

Montrer que pour tout $\vec x\in \Im p$, on a $p(\vec x)=\vec x$.

En déduire que $\Im p$ et $\ker p$ sont supplémentaires.

Montrer que le rang de $p$ est égal à la trace de $p$. (On rappelle que la trace de la matrice d’un endomorphisme ne dépend pas de la base dans laquelle on exprime cette matrice.)