Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) (\(K=\R\) ou \(\C\)), on appelle projecteur un endomorphisme \(p\) de \(E\) vérifiant \(p\circ p=p\). Soit \(p\) un projecteur.
1
Montrer que \(\mathrm{\mathrm{Id}}_E-p\) est un projecteur, calculer \(p\circ(\mathrm{Id}_E-p)\) et \((\mathrm{Id}_E-p)\circ p\).
2
Montrer que pour tout \(\vec x\in \Im p\), on a \(p(\vec x)=\vec x\).
3
En déduire que \(\Im p\) et \(\ker p\) sont supplémentaires.
4
Montrer que le rang de \(p\) est égal à la trace de \(p\). (On rappelle que la trace de la matrice d’un endomorphisme ne dépend pas de la base dans laquelle on exprime cette matrice.)