L2 Algèbre Endomorphisme particulier Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 4 questions

exo7 1552

Dans un espace euclidien $(E,<\cdot ,\cdot>)$ , on considère un vecteur $v$ non nul, un scalaire $\lambda$ et l’endomorphisme : $u: \begin{array}{ccl} E & \rightarrow &E \\ x &\mapsto &x+\lambda <x,v> v \end{array}$

Pour $x\in E$ , calculer $\Vert u(x)\Vert^{2}$ .

Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda$ et $v$ pour que $u$ soit une transformation orthogonale.

Lorsque $u$ est orthogonale, dire a priori quelles sont les valeurs propres possibles de $u$ , puis dire si elles sont effectivement valeur propre en étudiant les espaces propres associés.

Lorsque $u$ est orthogonale, donner une interprétation géométrique de $u$ .