Dans un espace euclidien \((E,<\cdot ,\cdot>)\), on considère un vecteur \(v\) non nul, un scalaire \(\lambda\) et l’endomorphisme : \[u: \begin{array}{ccl} E & \rightarrow &E \\ x &\mapsto &x+\lambda <x,v> v \end{array}\]
1
Pour \(x\in E\), calculer \(\Vert u(x)\Vert^{2}\).
2
Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(\lambda\) et \(v\) pour que \(u\) soit une transformation orthogonale.
3
Lorsque \(u\) est orthogonale, dire a priori quelles sont les valeurs propres possibles de \(u\), puis dire si elles sont effectivement valeur propre en étudiant les espaces propres associés.
4
Lorsque \(u\) est orthogonale, donner une interprétation géométrique de \(u\).