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Montrer que si $\varphi =\varphi ^*$ et $\forall x \in E : \langle x , \varphi (x) \rangle =0$ alors $\varphi =0 .$

Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : i) $\varphi \circ \varphi^* =\varphi ^*\circ \varphi .$ ii) $\forall x,y\in E : \langle \varphi (x),\varphi (x) \rangle = \langle \varphi ^*(x), \varphi ^*(x)\rangle .$ iii) $\forall x \in E : \Vert \varphi (x) \Vert = \Vert \varphi ^* (x)\Vert .$

Si $\hbox{dim}(E)=2$ et si $\varphi \circ \varphi^* =\varphi ^*\circ \varphi$ alors la matrice de $\varphi$ dans une base orthonormée est soit symétrique, soit de la forme $\begin{pmatrix} a & -b \cr b & a \cr \end{pmatrix}$ avec $b \not =0 .$

On suppose désormais que $\hbox{dim}(E)=3$ et que $\varphi \circ \varphi^* =\varphi ^*\circ \varphi .$

Montrer que $\varphi$ a au moins une valeur propre réelle qu’on notera $\lambda .$ Montrer que $E_{\lambda }$ et $E_{\lambda }^\perp$ sont laissés stables par $\varphi$ et $\varphi ^* .$

Montrer que si $\varphi$ n’est pas symétrique, il existe une base orthonormée $\epsilon$ de $E$ et deux réels $a$ et $b$ (avec $b\not =0$) tels que $\hbox{Mat}(\varphi ,\epsilon ) =\begin{pmatrix} a & -b & 0 \cr b & a & 0 \cr 0 & 0 & \lambda \cr \end{pmatrix} .$