Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et \(\varphi \in \mathcal{L} (E) .\)
Montrer que si \(\varphi =\varphi ^*\) et \(\forall x \in E : \langle x , \varphi (x) \rangle =0\) alors \(\varphi =0 .\)
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : i) \(\varphi \circ \varphi^* =\varphi ^*\circ \varphi .\) ii) \(\forall x,y\in E : \langle \varphi (x),\varphi (x) \rangle = \langle \varphi ^*(x), \varphi ^*(x)\rangle .\) iii) \(\forall x \in E : \Vert \varphi (x) \Vert = \Vert \varphi ^* (x)\Vert .\)
Si \(\hbox{dim}(E)=2\) et si \(\varphi \circ \varphi^* =\varphi ^*\circ \varphi\) alors la matrice de \(\varphi\) dans une base orthonormée est soit symétrique, soit de la forme \(\begin{pmatrix} a & -b \cr b & a \cr \end{pmatrix}\) avec \(b \not =0 .\)
On suppose désormais que \(\hbox{dim}(E)=3\) et que \(\varphi \circ \varphi^* =\varphi ^*\circ \varphi .\)
Montrer que \(\varphi\) a au moins une valeur propre réelle qu’on notera \(\lambda .\) Montrer que \(E_{\lambda }\) et \(E_{\lambda }^\perp\) sont laissés stables par \(\varphi\) et \(\varphi ^* .\)
Montrer que si \(\varphi\) n’est pas symétrique, il existe une base orthonormée \(\epsilon\) de \(E\) et deux réels \(a\) et \(b\) (avec \(b\not =0\)) tels que \(\hbox{Mat}(\varphi ,\epsilon ) =\begin{pmatrix} a & -b & 0 \cr b & a & 0 \cr 0 & 0 & \lambda \cr \end{pmatrix} .\)