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Montrer que $E=\hbox{Ker}(s-Id)\oplus \hbox{Ker}(s+Id) .$

Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : i) $s \in \mathcal{O} (E) .$ ii) $\hbox{Ker}(s-Id) \perp \hbox{Ker}(s+Id) .$ iii) $s=s^* .$

On note désormais $s_F$ l’unique symétrie $s \in \mathcal{O} (E)$ telle que $F=\hbox{Ker}(s+Id) .$ Montrer que pour tout $u\in \mathcal{O} (E)$ on a : $us_Fu^{-1}=s_{u(F)} .$

Montrer que si $f$ est une application de $E$ dans lui-même laissant stables toutes les droites vectorielles (c’est à dire que pour tout $x\in E$ il existe $\lambda _x \in \R$ tel que $f(x)=\lambda _x x$) alors $f$ est linéaire.

En déduire que $Z(\mathcal{O} (E))=\{ id, -id\}$ et que si $n\geq 3$ alors $Z(\mathcal{O} ^+ (E))=\{ id, -id\} \cap \mathcal{O} ^+(E) .$ (on pourra appliquer 3.) dans le cas où $F$ est une droite ou un plan.)

Que se passe-t-il lorsque $n=1$ et $n=2 ?$