Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et \(s \in \mathcal{L} (E)\) telle que \(s^2=id .\)
Montrer que \(E=\hbox{Ker}(s-Id)\oplus \hbox{Ker}(s+Id) .\)
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : i) \(s \in \mathcal{O} (E) .\) ii) \(\hbox{Ker}(s-Id) \perp \hbox{Ker}(s+Id) .\) iii) \(s=s^* .\)
On note désormais \(s_F\) l’unique symétrie \(s \in \mathcal{O} (E)\) telle que \(F=\hbox{Ker}(s+Id) .\) Montrer que pour tout \(u\in \mathcal{O} (E)\) on a : \(us_Fu^{-1}=s_{u(F)} .\)
Montrer que si \(f\) est une application de \(E\) dans lui-même laissant stables toutes les droites vectorielles (c’est à dire que pour tout \(x\in E\) il existe \(\lambda _x \in \R\) tel que \(f(x)=\lambda _x x\)) alors \(f\) est linéaire.
En déduire que \(Z(\mathcal{O} (E))=\{ id, -id\}\) et que si \(n\geq 3\) alors \(Z(\mathcal{O} ^+ (E))=\{ id, -id\} \cap \mathcal{O} ^+(E) .\) (on pourra appliquer 3.) dans le cas où \(F\) est une droite ou un plan.)
Que se passe-t-il lorsque \(n=1\) et \(n=2 ?\)