Soit un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien . On dit que est positif, si toutes ses valeurs propres sont positives.
Montrer que si est défini positif, il existe un et un seul endomorphisme symétrique positif tel que . On appelle racine carrée positive de .
On dit que est défini positif si et seulement si toutes ses racines sont strictement positives. Montrer que si est défini positif, alors sa racine positive aussi.
Soit un endomorphisme de . Montrer que est symétrique et positif. Montrer que si en plus est bijective, est défini positif.
On suppose maintenant que est une bijection. Soit la racine carrée positive de . Montrer que est une transformation orthogonale. En déduire que tout endomorphisme bijectif de peut s mettre sous la forme : où et une transformation orthogonale, et est symétrique défini positif.
Montrer que cette décomposition, appelée décomposition polaire de est unique.
Que se passe-t-il si n’est pas bijective ?