Soit \(r\) un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien \(E\). On dit que \(r\) est positif, si toutes ses valeurs propres sont positives.
Montrer que si \(r\) est défini positif, il existe un et un seul endomorphisme symétrique \(s\) positif tel que \(s^{2}=r\). On appelle \(s\) racine carrée positive de \(r\).
On dit que \(r\) est défini positif si et seulement si toutes ses racines sont strictement positives. Montrer que si \(r\) est défini positif, alors sa racine positive aussi.
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\). Montrer que \({}^t{f}f\) est symétrique et positif. Montrer que si en plus \(f\) est bijective, \({}^t{f}f\) est défini positif.
On suppose maintenant que \(f\) est une bijection. Soit \(s\) la racine carrée positive de \({}^t{f}f\). Montrer que \(u=f\circ s^{-1}\) est une transformation orthogonale. En déduire que tout endomorphisme bijectif de \(E\) peut s mettre sous la forme : \[f=u\circ s\] où \(u\) et une transformation orthogonale, et \(s\) est symétrique défini positif.
Montrer que cette décomposition, appelée décomposition polaire de \(f\) est unique.
Que se passe-t-il si \(f\) n’est pas bijective ?