L2 Algèbre Endomorphisme particulier Prépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSI 2 questions

exo7 1528

Soit (E,⟨,⟩)(E , \langle , \rangle ) un espace euclidien et φ∈L(E).\varphi \in \mathcal{L} (E) .

1

Montrer que φ∗∘φ\varphi ^*\circ \varphi est symétrique et que Sp(φ∗∘φ)⊂R+.\hbox{Sp}( \varphi ^*\circ \varphi )\subset \R _+ .

2

On note respectivement λ\lambda et μ\mu la plus grande et la plus petite valeur propre de φ∗∘φ.\varphi ^*\circ \varphi . Montrer, pour tout x∈E,x \in E , l’inégalité : μ∥x∥2≤∥φ(x)∥2≤λ∥x∥2.\mu \Vert x\Vert ^2\leq \Vert \varphi (x)\Vert ^2\leq \lambda \Vert x\Vert ^2 .

Exercice TzZH

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