Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et \(\varphi \in \mathcal{L} (E) .\)
1
Montrer que \(\varphi ^*\circ \varphi\) est symétrique et que \(\hbox{Sp}( \varphi ^*\circ \varphi )\subset \R _+ .\)
2
On note respectivement \(\lambda\) et \(\mu\) la plus grande et la plus petite valeur propre de \(\varphi ^*\circ \varphi .\) Montrer, pour tout \(x \in E ,\) l’inégalité : \[\mu \Vert x\Vert ^2\leq \Vert \varphi (x)\Vert ^2\leq \lambda \Vert x\Vert ^2 .\]