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On considère un espace euclidien $(E,<>)$ . On dit qu’un endomorphisme $u$ de $E$ est une similitude de $E$ si et seulement si il existe un réel $\lambda>0$ tel que $u^{*}u=\lambda\mathrm{id}$ Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :

[(i)] $u$ est une similitude

[(ii)] $u$ est colinéaire à une transformation orthogonale, c’est à dire $\exists\alpha\in\R\setminus\{0\},\ \exists v\in O(E)\ /\ u=\alpha v$

[(iii)] $u$ conserve l’orthogonalité, c’est à dire : $\forall(x,y)\in E^{2}, <x,y>=0\Rightarrow <u(x),u(y)>=0$

Pour (i) $\Leftrightarrow$ (ii), on pourra commencer par montrer que (ii) $\Rightarrow$ (i).

Pour (i) $\Rightarrow$ (iii), on commencera par montrer que $x$ et $u^{*}u(x)$ sont toujours colinéaires, c’est à dire que $\forall x\in E\exists\lambda_{x}/u^{*}u(x)=\lambda_{x}x$ puis on montrera que $\lambda_{x}$ est indépendant de $x$ .

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