On considère un espace euclidien \((E,<>)\). On dit qu’un endomorphisme \(u\) de \(E\) est une similitude de \(E\) si et seulement si il existe un réel \(\lambda>0\) tel que \[u^{*}u=\lambda\mathrm{id}\] Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
[(i)] \(u\) est une similitude
[(ii)] \(u\) est colinéaire à une transformation orthogonale, c’est à dire \[\exists\alpha\in\R\setminus\{0\},\ \exists v\in O(E)\ /\ u=\alpha v\]
[(iii)] \(u\) conserve l’orthogonalité, c’est à dire : \[\forall(x,y)\in E^{2}, <x,y>=0\Rightarrow <u(x),u(y)>=0\]
Pour (i)\(\Leftrightarrow\)(ii), on pourra commencer par montrer que (ii)\(\Rightarrow\)(i).
Pour (i)\(\Rightarrow\)(iii), on commencera par montrer que \(x\) et \(u^{*}u(x)\) sont toujours colinéaires, c’est à dire que \[\forall x\in E\exists\lambda_{x}/u^{*}u(x)=\lambda_{x}x\] puis on montrera que \(\lambda_{x}\) est indépendant de \(x\).