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Soit $\, ( e_1, e_2 ,e_3 ) \,$ une base orthonormée de $\, E\, .$ Soient $\, x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\,$ et $\, y=y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3\,$ deux vecteurs de $\, E\, .$ Calculer $\, \langle x,y\rangle \,$ en fonction des coefficients $\, x_i\,$ et $\, y_i\,$ (pour $\, i\in \{ 1,2,3\}\,$).

On considère $\, u \in \mathcal{L} (E)\,$ un endomorphisme auto-adjoint. On note $\, \lambda _1\,$ sa plus petite valeur propre et $\, \lambda _2\,$ sa plus grande valeur propre. Montrer que l’on a, pour tout $\, x \,$ appartenant à $\, E\,$ les inégalités : $$\lambda _1 \Vert x\Vert ^2 \leq \langle u(x),x\rangle \leq \lambda _2 \Vert x\Vert ^2.$$ (On utilisera une base orthonormée convenable.)

Soit $\, v \in \mathcal{L} (E)\,$ un endomorphisme quelconque. Montrer que $\, \displaystyle {u= {\frac{1}{2}} (v+v^*)}\,$ est auto-adjoint. Soient $\, \lambda \,$ une valeur propre de $\, v\, ,$ $\, \lambda _1\,$ la plus petite valeur propre de $\, u\,$ et $\, \lambda _2\,$ la plus grande valeur propre de $\, u\, .$ Montrer que $\, \lambda _1 \leq \lambda \leq \lambda _2\, .$