Soit \(\, E\,\) un espace euclidien de dimension \(\, 3\, .\)
Soit \(\, ( e_1, e_2 ,e_3 ) \,\) une base orthonormée de \(\, E\, .\) Soient \(\, x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\,\) et \(\, y=y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3\,\) deux vecteurs de \(\, E\, .\) Calculer \(\, \langle x,y\rangle \,\) en fonction des coefficients \(\, x_i\,\) et \(\, y_i\,\) (pour \(\, i\in \{ 1,2,3\}\,\)).
On considère \(\, u \in \mathcal{L} (E)\,\) un endomorphisme auto-adjoint. On note \(\, \lambda _1\,\) sa plus petite valeur propre et \(\, \lambda _2\,\) sa plus grande valeur propre. Montrer que l’on a, pour tout \(\, x \,\) appartenant à \(\, E\,\) les inégalités : \[\lambda _1 \Vert x\Vert ^2 \leq \langle u(x),x\rangle \leq \lambda _2 \Vert x\Vert ^2.\] (On utilisera une base orthonormée convenable.)
Soit \(\, v \in \mathcal{L} (E)\,\) un endomorphisme quelconque. Montrer que \(\, \displaystyle {u= {\frac{1}{2}} (v+v^*)}\,\) est auto-adjoint. Soient \(\, \lambda \,\) une valeur propre de \(\, v\, ,\) \(\, \lambda _1\,\) la plus petite valeur propre de \(\, u\,\) et \(\, \lambda _2\,\) la plus grande valeur propre de \(\, u\, .\) Montrer que \(\, \lambda _1 \leq \lambda \leq \lambda _2\, .\)